Rangkuman Matematika SMA Kelas 2
Statistika
Ukuran Pemusatan Data
Mean
Contoh: Tentukan mean dari data berikut:
| Data | Frekuensi (fi) | Titik tengah (xi) | fi . xi |
| 1 – 3 | 4 | 2 | 8 |
| 4 – 6 | 7 | 5 | 35 |
| 7 – 9 | 8 | 8 | 64 |
| 10 – 12 | 3 | 11 | 33 |
| 13 – 15 | 5 | 14 | 70 |
| | 27 | | 210 |
Jadi rata-rata (mean) = 210:27 = 7,77
Median
| Data | Frekuensi (fi) |
| 1 – 3 | 4 |
| 4 – 6 | 7 |
| 7 – 9 | 8 |
| 10 – 12 | 3 |
| 13 – 15 | 5 |
| | 27 |
à kelas median
Tb = 6,5; n=27; f=8; Sf sebelum = 11; c=3
Me = Tb + (1/2 x n - Sfsebelum) x c
fmedian
Me = 6,5 + (2,5/8) x 3
Me = 6,5 + 0,94
Me = 7,44
Modus
| Data | Frekuensi (fi) |
| 1 – 3 | 4 |
| 4 – 6 | 7 |
| 7 – 9 | 8 |
| 10 – 12 | 3 |
| 13 – 15 | 5 |
| | 27 |
à kelas modus
Tb=6,5; f1=1; f2=5; c=3
Mo = Tb + (f1/f1+f2) x c
Mo = 6,5 + 0,49
Mo = 6,99
Ukuran Penyebaran Data
Range
Contoh: Tentukan range dari: 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10
Jawab:
R = 10 – 4 =6
Simpangan Kuartil (Qd)
Contoh: Tentukan Qd dari: 2, 3, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10
Jawab: n=11
Q1 = n+1/4 = 3 (Data: 4)
Q3 = 3(n+1)/4 = 9 (Data: 10)
Qd = ½ (Q3 – Q1) = ½ x 6 =3
Simpangan Rata-rata (SR)
Contoh: Tentukan SR dari 2, 4, 6, 8, 10, 12
Jawab: rata-rata = 7
SR = (2-7)+(4-7)+(6-7)+(8-7)+(10-7)+(12-7) = 0
7
Simpangan Baku (S)
Contoh: hitunglah simpangan
Jawab: rata-rata = 3
S = √(1-3)2 + (2-3)2 + (3-3)2 + (4-3)2 + (5-3)2 = 1
10
Peluang
Faktorial
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Permutasi
Contoh: Berapa banyak macam susunan huruf pada kata “DADU”?
4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Kombinasi
Contoh:
Jawab:
10C2 = 10! = 45
2! x 8!
Peluang
Contoh: Berapa peluang kejadian muncul bilangan genap pada pelemparan dadu?
Jawab:
P(A) = n(A) = 3 = ½
N(S) 6
Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas
Contoh: Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 1 kali. Tentukan peluang kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu itu sama dengan 4 atau 5.
Jawab:
Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 4 (1,3; 2,2; 3,1)
P(A) = 3/36 = 1/12
Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 5 (1,4; 2,3; 3,2; 4,1)
P(B) = 4/36 = 1/9
Jadi P(A È B) = P(A) + P(B) = 3/36 + 4/36 = 7/36
Peluang Kejadian yang Saling Bebas
Contoh: Dua buah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu 2 pada dadu pertama dan mata dadu 6 pada mata dadu kedua!
P(A) = P(2) = 1/6
P(B) = P(6) = 1/6
P(A Ç B) = P(A) x P(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0,0)
Rumus: x2 + y2 = r2
Persamaan lingkaran yang berjari-jari 4 cm dan berpusat di (0,0) adalah:
x2 + y2 = 16.
Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a,b)
Rumus: (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (5,6) dan berjari-jari 4.
Jawab: (x-5)2 + (y-6)2 = 16
Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Pusat lingkaran = (- ½ A, - ½ B)
Jari-jari = √(- ½ A)2 + (- ½ B)2 – C
Contoh:
Diketahui persamaan lingkaran: x2 + y2 + 2x + 4y – 6 = 0, tentukan pusat dan
jari-jari lingkaran.
Jawab:
Pusat Lingkaran= (- ½ .2, - ½ .4) = (-1, -2)
Jari-jari= Ö1 + 4 – (-6) = Ö11 = 3,33
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x + 4y – 8 = 0 jika titik singgungnya (3,6)
Jawab:
x1.x + y1.y + ½ A (x + x1) + ½ B (y + y1) + C = 0
3x + 6y + 1.(x + 3) + 2.(y + 6) – 8 = 0
3x + 6y + x + 3 + 2y + 12 -8 = 0
4x + 8y + 7 = 0
Trigonometri
Trigonometri adalah nilai perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat Carteris atau pada segitiga siku-siku.
Sudut istimewa:
| a | 00 | 300 | 450 | 600 | 900 | 1200 | 1350 | 1500 | 1800 |
| Sin a | 0 | ½ | ½ √2 | ½ √3 | 1 | ½ √3 | ½ √2 | ½ | 0 |
| cos a | 1 | ½ √3 | ½ √2 | ½ | 0 | -½ | -½ √2 | -½ √3 | -1 |
| tan a | 0 | 1/3 √3 | 1 | √3 | ∞ | -√3 | -1 | -1/3 √3 | 0 |
| a | 2100 | 2250 | 2400 | 2700 | 3000 | 3150 | 3300 | 360 |
| sin a | -½ | -½ √2 | -½ √3 | -1 | -½ √3 | -½ √2 | -½ | 0 |
| cos a | -½ √3 | -½ √2 | -½ | 0 | ½ | ½ √2 | ½ √3 | 1 |
| tan a | 1/3 √3 | 1 | √3 | ∞ | -√3 | -1 | -1/3 √3 | 0 |
Rumus-rumus identitas Trigonometri:
tan a = sin a
cos a
sin2a + cos2a = 1
cot a = cos a
sin a
sec a = 1
cosa
tan2 a + 1 = sec2a
cot a + 1 = cosec2a
cosec a = 1
sin a
Rumus Penjumlahan pada Trigonometri:
sin a + sin b = 2 sin ½ (a + b) cos ½ (a - b)
sin a - sin b = 2 cos ½ (a + b) sin ½ (a - b)
cos a + cos b = 2 cos ½ (a + b) cos ½ (a - b)
cos a - cos b = -2 sin ½ (a + b) sin ½ (a - b)
Rumus Perkalian pada Trigonometri:
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
-2 sin a cos b = cos (a + b) - cos (a - b)
Suku Banyak
Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Suku Banyak
Contoh: diketahui f(x) = x3 + 3x2 + 5x + 7 dan g(x) = x2 + 3x – 3.
Jawab:
f(x) + g(x) = x3 + 3x2 + 5x + 7 + (x2 + 3x – 3) = x3 + 4x2 + 8x + 4
f(x) - g(x) = x3 + 3x2 + 5x + 7 – (x2 + 3x – 3) = x2 + 2x2 + 2x + 10
f(x) . g(x) = x3 + 3x2 + 5x + 7 . (x2 + 3x – 3) = x5 + 3x4 – 3x3 + 3x4 9x3 – 9x2 +
5x3 + 15x2 – 15x + 7x2 + 21x – 21 = x5 + 6x4 + 11x3 + 13x2 + 6x - 21
Teorema Sisa
Contoh: Tentukan sisa dari pembagian x4 – 4x3 + 2x2 + 6x – 6 dengan (x-3).
Jawab:
x-3 à x=3; dan k=3
S = f(k) = k4 – 4k3 + 2k2 + 6k – 6
S = f(3) = 34 – 4(3)3 + 2(3)2 + 6.3 – 6
= 81 – 108 + 18 + 18 – 6
= 3
Teorema Faktor
Contoh: Tentukan sisa dari pembagian 4x3 + 2x2 + 6x – 6 dengan (x-3) (x+1).
Jawab: x1 = 3; x2 = -1
Untuk x1 = 3, maka: 4(3)3 + 2(3)2 + 6(3) – 6 = 108 + 18 + 18 – 6 = 138
Untuk x2 = -1, maka: 4(-1)3 + 2(-1)2 + 6(-1) – 6 = -4 + 2 – 6 – 6 = -14
S(x) = (x-x1) . f(x2) + (x-x2) . f(x1)
(x2-x1) (x1-x2)
= (x-3) . -14 + (x+1) . 138
-4 4
= 139x +121
4
Fungsi, Komposisi dan Fungsi Invers
Fungsi
Contoh: Diketahui f:R à R dengan f(x) = x2 + 2x + 2
Tentukan: f(5) dan f(x+1)
Jawab:
f(5) = 25 + 10 + 2 = 37
f(x+1) = (x+1)2 + 2(x+1) + 2 = x2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 2 = x2 + 4x + 5
Komposisi
Contoh: Fungsi f:R à R dan g:R à R dengan f(x) = x2 + 2 dan g(x) = x + 3.
Tentukan g.f(x) dan f.g(x).
g.f(x) = g (f(x)) = g (x2 + 2) = (x2 + 2) + 3 = x2 + 5
f.g(x) = f (g(x)) = f (x + 3) = (x + 3)2 + 2 = x2 + 6x + 11
Fungsi Invers
Jika y = f(x) maka x = f -1 (y)
| Fungsi awal | Fungsi Invers |
| f(x) = ax + b | f -1 (x) = x – b a |
| f(x) = ax + b cx + d | f -1 (x) = -dx + b cx – a |
| f(x) = ax2 + bx + c | f -1 (x) = -b + Öb2 – 4a (c-x) 2a |
| f(x) = acx | f -1 (x) = 1/c. alog x |
| f(x) = alog cx | f -1 (x) = 1/c. ax |
Limit
Limit Fungsi Aljabar
Contoh: lim 2x2 – 2x = 2x (x -1) = 2x = 2.1 = 2
x®1 x – 1 (x – 1)
Limit Fungsi Trigonometri
| lim sin x = 1 x®1 x |
| lim x = 1 x®1 sin x |
| lim x = 1 x®1 tan x |
| lim tan x = 1 x®1 x |
| lim sin ax = a x®0 bx b |
| lim ax = a x®0 sin bx b |
| lim sin ax = a x®0 sin bx b |
| lim tan ax = a x®0 bx b |
| lim sin ax = a x®0 tan bx b |
| lim tan ax = a x®0 tan bx b |
| lim tan ax = a x®0 sin bx b |
Tidak ada komentar:
Posting Komentar