Jaringan Komputer

1. Pengenalan Jaringan

Suatu jaringan komputer local biasa disebut LAN (Local Area Network) adalah suatu jaringan data kecepatan tinggi dan fault tolerant yang menghubungkan sejumlah PC, printer dan peralatan lainnya pada suatu area yang relatif kecil.

LAN akan memberikan banyak keuntungan bagi pemakainya seperti penggunaan bersama suatu peralatan seperti printer serta berbagai aplikasi komputer, pertukaran file di antara pemakai yang terhubung di jaringan, dan komunikasi antar pemakai melalui mail elektronik atau aplikasi lainnya.

Untuk mencakup wilayah yang lebih luas maka dikenal istilah Internetworking yang merupakan suatu kumpulan jaringan-jaringan individu yang terhubung melalui peralatan intermediate networking.

2. Protokol dan Topologi LAN

Protokol LAN biasanya memakai satu dari dua metode untuk mengakses media jaringan yaitu: Carrier Sense Multiple Access / Collision Detection (CSMA/CD) atau Token Passing. Jaringan berbasis Ethernet memakai metode CSMA/CD sedangkan jaringan berbasis Token Ring dan FDDI memakai metode Token Passing.

Secara umum topologi dan protokol LAN dapat digambarkan seperti tertera pada diagram dibawah ini

Topologi logic dari LAN terdiri dari 4 macam yaitu: bus, star, ring dan tree. Topologi fisik jaringan tidak selalu mengikuti topologi logiknya, misalnya untuk jaringan memakai topologi logic bus dan ring secara fisik biasanya disusun berdasar topologi fisik star. Jaringan LAN berbasis Ethernet memakai topologi logic bus jadi secara fisik dapat memakai topologi fisik bus atau star sedangkan jaringan LAN berbasis Token Ring dan FDDI memakai topologi logic ring jadi secara fisik dapat diimplementasikan dengan topologi fisik star dan ring.

3. Komponen Jaringan

Komponen-komponen yang digunakan di dalam jaringan komputer biasanya terdiri dari hub, LAN Switch, repeater, bridge, router.

Suatu hub adalah peralatan yang menghubungkan terminal-terminal pemakai dimana setiap terminal dihubungkan dengan kabel tersendiri sehingga membentuk topologi fisik star namun dapat beroperasi berdasar topologi logic bus atau ring.

LAN Switch digunakan untuk menghubungkan berbagai segmen LAN dan menyediakan komunikasi bebas tubrukan, terdedikasi diantara komponen-komponen jaringan serta mendukung banyak koneksi secara bersamaan. LAN Switch didesain untuk menswitch data frame pada kecepatan tinggi.

Repeater berfungsi menghubungkan diantara segmen-segmen jaringan sehingga memperluas cakupan jaringan tanpa melakukan segmentasi atau pemfilteran namun hanya memperkuat, mesinkronisasi dan mengirim ulang sinyal-sinyal dari satu segmen jaringan ke segmen-segmen jaringan yang lain.

Bridge berfungsi menghubungkan diantara segmen-segmen jaringan namun dengan melakukan pemfilteran sinyal-sinyal data sehingga tetap mempertahankan segmentasi jaringan sehingga menjaga agar lalu-lintas di setiap segmen tidak terpengaruhi oleh lalu-lintas segmen-segmen yang lain. Bridge juga dapat menghubungkan segmen-segmen jaringan yang menggunakan basis protocol akses yang berbeda misalnya segmen Ethernet dengan segmen Token Ring asalkan memakai protocol komunikasi yang sama seperti IP ke IP, IPX ke IPX dll.

Router melaksanakan pengiriman informasi melalui suatu internetworking dan bekerja pada layer 3 OSI. Tugas utama Router adalah menentukan jalur routing yang optimal dan mengirimkan group-group informasi (biasanya disebut paket) melalui suatu internetworking. Ukuran yang digunakan untuk penetuan jalur atau path yang optimal diantaranya: path length, load, reliability, delay, bandwidth dan communication cost. Beberapa Routing Protokol menggunakan algoritma routing yang berbeda-beda, beberapa diantaranya: Interior Gateway Routing Protocol (IGRP), Open Shortest Path First (OSPF), Exterior Gateway Protocol (EGP), Routing Information Protocol (RIP) dll.

4. Sistem Operasi Jaringan

Suatu sistem operasi jaringan adalah suatu system operasi komputer yang didesain terutama untuk mendukung printer sharing, common file system dan database sharing, application sharing dan kemampuan untuk me-manage suatu network name directory, system keamanan, dan pengawasan segala aspek jaringan.

Terdapat berbagai system operasi jaringan yang ada di pasaran diantaranya: Microsoft Windows 2000 Server, LINUX, Novel Netware, Artisoft's LANtastic, Banyan VINES,

Beberapa kategori yang sebagai prasyarat untuk memilih Network Operating System (NOS) yang sesuai kebutuhan :

a. Architectur

Perusahaan-perusahaan yang memiliki beban kerja yang dinamis perlu memperhatikan arsitektur NOS apakah mendukung system multiprosesor? Apakah systemnya didukung system asimetric atau simetric multiprosesing? Apakah operating systemnya mendukung arsitektur multiprosesor?

b. Scalability

Beberapa hal pertimbangan pemilihan NOS untuk mendukung skala usaha yang menggunakan NOS meliputi: Berapa kapasitas minimum dan maksimum dari memory, disk cache dan disk yang didukung oleh setiap NOS? Berapa jumlah maksimum file locks, open file, concurrent clients, server di dalam domain dan domain yang dapat didukung oleh setiap NOS?

c. Availability dan Reliability

Memiliki fitur file locking, mendukung RAID (Redudant Arrays of Inexpensive Disk), berbagai tipe dari pengalihan kegagalan pada klien (client failover) ketika suatu server mengalami kegagalan dan mendukung konfigurasi fault-tolerant hardware. ini semua merupakan hal yang penting untuk perusahaan yang mengandalkan jaringan sebagai bagian kritis dari operasi bisnis harian mereka.

d. Clients supported

Kebanyakan perusahaan memiliki berbagai macam operating sistem di setiap dekstopnya diantaranya: DOS, DOS/Windows, Windows for Workgroup, Windows 95/98, Windows NT Workstation, Macintosh, OS/2 dan Unix serta peralatan-peralatan seperti terminal X-Windows, terminal character cell(teller terminal, point of sale devices dll). Suatu NOS harus dapat mendukung semua hal di atas.

e. Network Printing

Printing merupakan salah satu dari fungsi-fungsi utama dari NOS. Perusahaan harus dapat mengetahui jawaban dari beberapa hal berikut dalam memilih NOS :

1. Berapa jumlah printer yang mampu didukung setiap server
2. Printer banyak Dapat dikendalikan oleh satu antrian print
3. Dapatkah banyak antrian print mengendalikan satu printer
4. Dapatkah NOS membangkitkan sinyal alarm ke operator jika timbul masalah ketika mencetak
5. Dapatkah NOS memberitahu pemakai apabila tugas pencetakan telah selesai
6. Dapatkah fungsi pencetakan di-manage dari jauh

f. Network Media

Berbagai tipe media jaringan telah banyak digunakan dalam perusahaan seperti media Ethernet, Token Ring, asynchronous dan synchronous telephone lines, Packet Switched Data Networks(PSDN) seperti X.25, fiber optic dan Integrated Services Digital Network (ISDN). Tanpa kemampuan dukungan terhadap semua hal di atas maka sangat sukar bagi suatu perusahaan untuk membangun infrastuktur jaringan yang paling optimal untuk kebutuhan jaringannya.

g. Network Protocols

Pemilihan NOS harus mempertimbangkan kompatibilitas antara protocol jaringan yang digunakan dengan NOS yang meliputi 3270 dan asynchronous terminal emulation, AppleTalk filing protocol (AFP), TCP/IP, Telnet, Simple Mail Transfer Protocol (SMTP), Simple Network Management Protocol (SNMP), SNA, SNA LU6.2, SNA Advanced Program-to-Program Communication (APPC), File Transfer Protocol (FTP), Internetwork Packet Exchange/Sequenced Packet Exchange (IPX/SPX), NetWare file services, NetWare print services, NetBIOS, dan NetBEUI. Kategori ini juga mempertimbangkan apakah akses client ke server melalui suatu saluran asynchronous, PSDN, Internet atau ISDN.

h. Network Services

Kategori ini untuk mengevaluasi platform NOS untuk menentukan apakah NOS tersebut menyediakan fungsi-fungsi yang diperlukan untuk directory services yang mengijinkan user mengakses layanan jaringan tanpa perlu mengetahui alamat jaringan, layanan keamanan yang mengontrol akses ke fungsi-fungsi directory management dan menentukan apakah NOS mendukung tool-tool dan layanan-layanan yang sudah dispesifikasikan oleh Dekstop Management Task Force (DMTF).

i. Server Management

Memastikan ketersediaan tool untuk me-manage platform NOS, termasuk audit trail functions, file management, user account management, error reporting, dan server performance reporting. Perusahaan memerlukan informasi ini untuk peng-administrasian NOS platform.

j. Security

Mengevaluasi kesesuaian standar platform NOS, dukungan terhadap access control list, disk quotas, automatic discovery dan management dari penyusup, dukungan terhadap callback modem, dukungan terhadap security management system seperti Kerberos, dan apakah encryption services tersedia.

k. Functionality/Utility

Proses konsolidasi server-server fungsi tunggal ke dalam server-server multi fungsi harus mengevaluasi insfrastruktur platform NOS. Suatu operating system fungsi tunggal dapat menyediakan kinerja yang lebih tinggi untuk layanan file dan print namun memerlukan dukungan operating system lain untuk sebagai platform layanan aplikasi. Suatu general purpose operating system dapat mendukung mutlifunctions server sehingga dapat mengurangi management dan biaya sistem.

l. Application development tools

NOS platform harus dapat mendukung layanan aplikasi sebaik dukungan terhadap layanan file dan print. Kategori ini meninjau ketersediaan dari third generation language (3GLs), fourth generation language (4GLs), object oriented development tools dan tool untuk team programming di setiap NOS paltform.

m. Data access

NOS platform harus dapat mendukung aplikasi-aplikasi yang lebih kompleks sehingga harus juga mendukung file access methode dan indexed file access method. Kategori ini mengevaluasi dukungan NOS platform untuk file services.

n. Database support

Software database biasanya merupakan bagian dari infrastuktur distributed applications. Kategori ini mengevaluasi software database yang tersedia pada setiap NOS platform.

o. Applications

Kategori ini untuk mengevaluasi layanan aplikasi apa saja yang tersedia pada setiap NOS platform seperti mail client, mail server, word proccessing client, spreadsheet client, integrated office suite atau Lotus Note.

CPU

Langsung ke: navigasi, cari

Chip mikroprosesor Intel 80486DX2 (ukuran sebenarnya: 12×6,75 mm).

CPU, singkatan dari Central Processing Unit, merujuk kepada perangkat keras komputer yang memahami dan melaksanakan instruksi dan data dari perangkat lunak. Istilah lain, prosesor, sering digunakan untuk menyebut CPU. Adapun mikroprosesor adalah CPU yang diproduksi dalam sirkuit terpadu, seringkali dalam sebuah paket chip-tunggal. Sejak pertengahan tahun 1970-an, mikroprosesor chip-tunggal ini telah umum digunakan dan menjadi aspek penting dalam implementasi CPU.

Pin mikroprosesor Intel 80486DX2.

[sunting] Komponen CPU

Diagram blok sederhana sebuah CPU.

Komponen CPU terbagi menjadi beberapa macam, yaitu sebagai berikut.

• Unit kontrol yang mampu mengatur jalannya program. Komponen ini sudah pasti terdapat dalam semua CPU.
• Unit eksekusi yang mampu melakukan operasi terhadap data dan memiliki beberapa bagian, seperti ALU (Unit Logika dan Aritmatika), FPU (Floating Point Unit), dan lainnya. Komponen ini sudah pasti terdapat dalam semua jenis CPU.
• Sekumpulan daftar yang dapat digunakan untuk menampung data maupun hasil perhitungan yang belum selesai dengan sempurna. Komponen ini terkadang terdapat dalam CPU, tetapi tidak semuanya.
• Memori internal CPU, yang bentuknya bisa berupa cache. Komponen ini terkadang terdapat dalam CPU. Kebanyakan CPU lama tidak memilikinya.

Fungsi CPU

CPU berfungsi seperti kalkulator, hanya saja CPU jauh lebih kuat daya pemrosesannya. Fungsi utama dari CPU adalah melakukan operasi aritmatika dan logika terhadap data yang diambil dari memori atau dari informasi yang dimasukkan melalui beberapa perangkat keras, seperti papan ketik, pemindai, tuas kontrol, maupun tetikus. CPU dikontrol menggunakan sekumpulan instruksi perangkat lunak komputer. Perangkat lunak tersebut dapat dijalankan oleh CPU dengan membacanya dari media penyimpan, seperti cakram keras, disket, cakram padat, maupun pita perekam. Instruksi-instruksi tersebut kemudian disimpan terlebih dahulu pada memori fisik (RAM), yang mana setiap instruksi akan diberi alamat unik yang disebut alamat memori. Selanjutnya, CPU dapat mengakses data-data pada RAM dengan menentukan alamat data yang dikehendaki.

Saat sebuah program dieksekusi, data mengalir dari RAM ke sebuah unit yang disebut dengan bus, yang menghubungkan antara CPU dengan RAM. Data kemudian didekode dengan menggunakan unit proses yang disebut sebagai pendekoder instruksi yang sanggup menerjemahkan instruksi. Data kemudian berjalan ke unit aritmatika dan logika (ALU) yang melakukan kalkulasi dan perbandingan. Data bisa jadi disimpan sementara oleh ALU dalam sebuah lokasi memori yang disebut dengan register supaya dapat diambil kembali dengan cepat untuk diolah. ALU dapat melakukan operasi-operasi tertentu, meliputi penjumlahan, perkalian, pengurangan, pengujian kondisi terhadap data dalam register, hingga mengirimkan hasil pemrosesannya kembali ke memori fisik, media penyimpan, atau register apabila akan mengolah hasil pemrosesan lagi. Selama proses ini terjadi, sebuah unit dalam CPU yang disebut dengan penghitung program akan memantau instruksi yang sukses dijalankan supaya instruksi tersebut dapat dieksekusi dengan urutan yang benar dan sesuai.

Percabangan instruksi

Penghitung program dalam CPU umumnya bergerak secara berurutan. Walaupun demikian, beberapa instruksi dalam CPU, yang disebut dengan instruksi lompatan, mengizinkan CPU mengakses instruksi yang terletak bukan pada urutannya. Hal ini disebut juga percabangan instruksi (branching instruction). Cabang-cabang instruksi tersebut dapat berupa cabang yang bersifat kondisional (memiliki syarat tertentu) atau non-kondisional. Sebuah cabang yang bersifat non-kondisional selalu berpindah ke sebuah instruksi baru yang berada di luar aliran instruksi, sementara sebuah cabang yang bersifat kondisional akan menguji terlebih dahulu hasil dari operasi sebelumnya untuk melihat apakah cabang instruksi tersebut akan dieksekusi atau tidak. Data yang diuji untuk percabangan instruksi disimpan pada lokas yang disebut dengan flag.

Bilangan yang dapat ditangani

Kebanyakan CPU dapat menangani dua jenis bilangan, yaitu fixed-point dan floating-point. Bilangan fixed-point memiliki nilai digit spesifik pada salah satu titik desimalnya. Hal ini memang membatasi jangkauan nilai yang mungkin untuk angka-angka tersebut, tetapi hal ini justru dapat dihitung oleh CPU secara lebih cepat. Sementara itu, bilangan floating-point merupakan bilangan yang diekspresikan dalam notasi ilmiah, di mana sebuah angka direpresentasikan sebagai angka desimal yang dikalikan dengan pangkat 10 (seperti 3,14 x 10⁵⁷). Notasi ilmiah seperti ini merupakan cara yang singkat untuk mengekspresikan bilangan yang sangat besar atau bilangan yang sangat kecil, dan juga mengizinkan jangkauan nilai yang sangat jauh sebelum dan sesudah titik desimalnya. Bilangan ini umumnya digunakan dalam merepresentasikan grafik dan kerja ilmiah, tetapi proses aritmatika terhadap bilangan floating-point jauh lebih rumit dan dapat diselesaikan dalam waktu yang lebih lama oleh CPU karena mungkin dapat menggunakan beberapa siklus detak CPU. Beberapa komputer menggunakan sebuah prosesor sendiri untuk menghitung bilangan floating-point yang disebut dengan FPU (disebut juga math co-processor) yang dapat bekerja secara paralel dengan CPU untuk mempercepat penghitungan bilangan floating-point. FPU saat ini menjadi standar dalam banyak komputer karena kebanyakan aplikasi saat ini banyak beroperasi menggunakan bilangan floating-point.

RUMUS MATEMATIKA XI SEMESTER 1

Rangkuman Matematika SMA Kelas 2

Statistika

Ukuran Pemusatan Data

Mean

Contoh: Tentukan mean dari data berikut:

Data	Frekuensi (fi)	Titik tengah (xi)	fi . xi
1 – 3	4	2	8
4 – 6	7	5	35
7 – 9	8	8	64
10 – 12	3	11	33
13 – 15	5	14	70
	27		210

Jadi rata-rata (mean) = 210:27 = 7,77

Median

Data	Frekuensi (fi)
1 – 3	4
4 – 6	7
7 – 9	8
10 – 12	3
13 – 15	5
	27

à kelas median
Tb = 6,5; n=27; f=8; Sf _sebelum = 11; c=3

Me = Tb + (1/2 x n - Sf_sebelum) x c

f_median

Me = 6,5 + (^2,5/₈) x 3

Me = 6,5 + 0,94

Me = 7,44

Modus

Data	Frekuensi (fi)
1 – 3	4
4 – 6	7
7 – 9	8
10 – 12	3
13 – 15	5
	27

à kelas modus

Tb=6,5; f1=1; f2=5; c=3

Mo = Tb + (^f1/_f1+f2) x c

Mo = 6,5 + 0,49

Mo = 6,99

Ukuran Penyebaran Data

Range

Contoh: Tentukan range dari: 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10

Jawab:

R = 10 – 4 =6

Simpangan Kuartil (Qd)

Contoh: Tentukan Qd dari: 2, 3, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10

Jawab: n=11

Q1 = ⁿ⁺¹/₄ = 3 (Data: 4)

Q3 = ³⁽ⁿ⁺¹⁾/₄ = 9 (Data: 10)

Qd = ½ (Q3 – Q1) = ½ x 6 =3

Simpangan Rata-rata (SR)

Contoh: Tentukan SR dari 2, 4, 6, 8, 10, 12

Jawab: rata-rata = 7

SR = (2-7)+(4-7)+(6-7)+(8-7)+(10-7)+(12-7) = 0

7

Simpangan Baku (S)

Contoh: hitunglah simpangan baku dari 1, 2, 3, 4, 5

Jawab: rata-rata = 3

S = √^{(1-3)2 + (2-3)2 + (3-3)2 + (4-3)2 + (5-3)2} = 1

¹⁰

Peluang

Faktorial

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Permutasi

Contoh: Berapa banyak macam susunan huruf pada kata “DADU”?

₄P₄ = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Kombinasi

Contoh: Ada berapa cara 2 orang dipilih dari 10 orang untuk bergabung dalam lomba?

Jawab:

₁₀C₂ = 10! = 45

2! x 8!

Peluang

Contoh: Berapa peluang kejadian muncul bilangan genap pada pelemparan dadu?

Jawab:

P(A) = n(A) = 3 = ½

N(S) 6

Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas

Contoh: Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 1 kali. Tentukan peluang kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu itu sama dengan 4 atau 5.

Jawab:

Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 4 (1,3; 2,2; 3,1)

P(A) = ³/₃₆ = ¹/₁₂

Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 5 (1,4; 2,3; 3,2; 4,1)

P(B) = ⁴/₃₆ = ¹/₉

Jadi P(A È B) = P(A) + P(B) = ³/₃₆ + ⁴/₃₆ = ⁷/₃₆

Peluang Kejadian yang Saling Bebas

Contoh: Dua buah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu 2 pada dadu pertama dan mata dadu 6 pada mata dadu kedua!

P(A) = P(2) = ¹/₆

P(B) = P(6) = ¹/₆

P(A Ç B) = P(A) x P(B) = ¹/₆ x ¹/₆ = ¹/₃₆

Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0,0)

Rumus: x² + y² = r²

Persamaan lingkaran yang berjari-jari 4 cm dan berpusat di (0,0) adalah:

x² + y² = 16.

Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a,b)

Rumus: (x-a)² + (y-b)² = r²

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (5,6) dan berjari-jari 4.

Jawab: (x-5)² + (y-6)² = 16

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

x² + y² + Ax + By + C = 0

Pusat lingkaran = (- ½ A, - ½ B)

Jari-jari = √(- ½ A)² + (- ½ B)² – C

Contoh:

Diketahui persamaan lingkaran: x² + y² + 2x + 4y – 6 = 0, tentukan pusat dan

jari-jari lingkaran.

Jawab:

Pusat Lingkaran= (- ½ .2, - ½ .4) = (-1, -2)

Jari-jari= Ö1 + 4 – (-6) = Ö11 = 3,33

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 2x + 4y – 8 = 0 jika titik singgungnya (3,6)

Jawab:

x1.x + y1.y + ½ A (x + x1) + ½ B (y + y1) + C = 0

3x + 6y + 1.(x + 3) + 2.(y + 6) – 8 = 0

3x + 6y + x + 3 + 2y + 12 -8 = 0

4x + 8y + 7 = 0

Trigonometri

Trigonometri adalah nilai perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat Carteris atau pada segitiga siku-siku.

Sudut istimewa:

a	00	300	450	600	900	1200	1350	1500	1800
Sin a	0	½	½ √2	½ √3	1	½ √3	½ √2	½	0
cos a	1	½ √3	½ √2	½	0	-½	-½ √2	-½ √3	-1
tan a	0	1/3 √3	1	√3	∞	-√3	-1	-1/3 √3	0

a	2100	2250	2400	2700	3000	3150	3300	360
sin a	-½	-½ √2	-½ √3	-1	-½ √3	-½ √2	-½	0
cos a	-½ √3	-½ √2	-½	0	½	½ √2	½ √3	1
tan a	1/3 √3	1	√3	∞	-√3	-1	-1/3 √3	0

Rumus-rumus identitas Trigonometri:

tan a = sin a

cos a

sin²a + cos²a = 1

cot a = cos a

sin a

sec a = 1

cosa

tan² a + 1 = sec²a

cot a + 1 = cosec²a

cosec a = 1

sin a

Rumus Penjumlahan pada Trigonometri:

sin a + sin b = 2 sin ½ (a + b) cos ½ (a - b)

sin a - sin b = 2 cos ½ (a + b) sin ½ (a - b)

cos a + cos b = 2 cos ½ (a + b) cos ½ (a - b)

cos a - cos b = -2 sin ½ (a + b) sin ½ (a - b)

Rumus Perkalian pada Trigonometri:

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)

2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)

2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)

-2 sin a cos b = cos (a + b) - cos (a - b)

Suku Banyak

Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Suku Banyak

Contoh: diketahui f(x) = x³ + 3x² + 5x + 7 dan g(x) = x² + 3x – 3.

Jawab:

f(x) + g(x) = x³ + 3x² + 5x + 7 + (x² + 3x – 3) = x³ + 4x² + 8x + 4

f(x) - g(x) = x³ + 3x² + 5x + 7 – (x² + 3x – 3) = x² + 2x² + 2x + 10

f(x) . g(x) = x³ + 3x² + 5x + 7 . (x² + 3x – 3) = x⁵ + 3x⁴ – 3x³ + 3x⁴ 9x³ – 9x² +

5x³ + 15x² – 15x + 7x² + 21x – 21 = x⁵ + 6x⁴ + 11x³ + 13x² + 6x - 21

Teorema Sisa

Contoh: Tentukan sisa dari pembagian x⁴ – 4x³ + 2x² + 6x – 6 dengan (x-3).

Jawab:

x-3 à x=3; dan k=3

S = f(k) = k⁴ – 4k³ + 2k² + 6k – 6

S = f(3) = 3⁴ – 4(3)³ + 2(3)² + 6.3 – 6

= 81 – 108 + 18 + 18 – 6

= 3

Teorema Faktor

Contoh: Tentukan sisa dari pembagian 4x³ + 2x² + 6x – 6 dengan (x-3) (x+1).

Jawab: x1 = 3; x2 = -1

Untuk x1 = 3, maka: 4(3)³ + 2(3)² + 6(3) – 6 = 108 + 18 + 18 – 6 = 138

Untuk x2 = -1, maka: 4(-1)³ + 2(-1)² + 6(-1) – 6 = -4 + 2 – 6 – 6 = -14

S(x) = (x-x1) . f(x2) + (x-x2) . f(x1)

(x2-x1) (x1-x2)

= (x-3) . -14 + (x+1) . 138

-4 4

= 139x +121

4

Fungsi, Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi

Contoh: Diketahui f:R à R dengan f(x) = x² + 2x + 2

Tentukan: f(5) dan f(x+1)

Jawab:

f(5) = 25 + 10 + 2 = 37

f(x+1) = (x+1)² + 2(x+1) + 2 = x² + 2x + 1 + 2x + 2 + 2 = x² + 4x + 5

Komposisi

Contoh: Fungsi f:R à R dan g:R à R dengan f(x) = x² + 2 dan g(x) = x + 3.

Tentukan g.f(x) dan f.g(x).

g.f(x) = g (f(x)) = g (x² + 2) = (x² + 2) + 3 = x² + 5

f.g(x) = f (g(x)) = f (x + 3) = (x + 3)² + 2 = x² + 6x + 11

Fungsi Invers

Jika y = f(x) maka x = f ^-1 (y)

Fungsi awal	Fungsi Invers
f(x) = ax + b	f -1 (x) = x – b a
f(x) = ax + b cx + d	f -1 (x) = -dx + b cx – a
f(x) = ax2 + bx + c	f -1 (x) = -b + Öb2 – 4a (c-x) 2a
f(x) = acx	f -1 (x) = 1/c. alog x
f(x) = alog cx	f -1 (x) = 1/c. ax

Limit

Limit Fungsi Aljabar

Contoh: lim 2x² – 2x = 2x (x -1) = 2x = 2.1 = 2

^x®1 x – 1 (x – 1)

Limit Fungsi Trigonometri

lim sin x = 1 x®1 x

lim x = 1 x®1 sin x

lim x = 1 x®1 tan x

lim tan x = 1 x®1 x

lim sin ax = a x®0 bx b

lim ax = a x®0 sin bx b

lim sin ax = a x®0 sin bx b

lim tan ax = a x®0 bx b

lim sin ax = a x®0 tan bx b

lim tan ax = a x®0 tan bx b

lim tan ax = a x®0 sin bx b